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  2016-01-22 08:22  中国润滑油信息网
开户给白菜-开户给白菜【第一官网】 假设,咱们对参数进行仿射改换:

以此类推,直至终极只获得一个点

换言之,

关于任何一个n次多项式,都存在仅有的一个极措施,使得:

【老顾谈几许】邀请海内国际驰誉朴实数学家,应用数学家,理论物理学家和谋略机科学家,教授教化今世拓扑和几许的理论,算法和应用

如图2所示,贝塞尔曲线的求值平日用de casteljau算法:给定参数值,

咱们看一个比如:一元三次多项式具有平日措施

许多年后,老顾有幸见到了样条理论的创作创造者们老顾向de boor大年夜师讲解了仿射布局的陈类阴碍,de boor大年夜师深觉得然老顾又见到了goldman等长辈,他们向老顾讲解说昔时开展这套理论时所思虑的曲面外形过于大略,工业开展过快,没有拓扑学家几许学家参加,工程师和应用数学家不太认识陈类理论,因而样条理论留下了实质缺憾现在,nurbs早就变成了工业规范,很多条临盆线都已经建成,从根本上篡改工业流程绝无大概

图2. 贝塞尔曲线的de casteljau算法

那么三点间的份额不变,

图7. 流形样条

给定操控点,贝塞尔曲线界说为:

今世社会中,轿车,船只和航空制造业,以致整个机器工业都是依据样条理论的随着加工曲面的拓扑和几许日趋紊乱,样条布局法子需求被执行到流形天气在已往的数十年间,将样条理论天然地执行到流形上不停是几许建表率畴的基地课题可是,不管专家和工程师怎么绞尽脑汁,巧思妙想,曲面上的样条布局总是无法防止一些滑腻性变差的奇特征陈类理论指出这些尽力是白搭的,样条理论的根本布局决议了其内涵弗成防止的毛病

图1. t-样条曲面的操控网格(左),knot布局(右)和奇特征(黄色区域)(贺英等/图)

参数仿射不变性 极措施是b-spline的理论根基,仔细察看de boor算法的示意图,咱们看到每一步都是依据当前参数t和knots之间的份额,按份额进行线性插值例如图4,线性组合的权重即是参数t和knots之间的份额

则其对应的极措施为:

仿射布局 从上述评论咱们看出,传统样条理论是依据极措施理论的,极措施是依据仿射不变量的因而,假设咱们能够将极措施界说在关闭曲面上,则样条理论能够直接执行到关闭曲面上面这等价于,关闭曲面上能否界说仿射几许假设曲面准许仿射布局,则仿射几许能够界说在曲面上

其余一种措施是将极措施执行,这儿每个变量都是二维平面上的一点这种措施界说的样条曲面能够直接界说在平面区域的任意三角剖分上,因而具有极大年夜地机动性dahmen, micchelli 和 seidel在九十年代发现晰dms样条曲面【1】,将极措施界说在平面区域的任意三角剖分上面

流形样条假设曲面具有仿射图册,则咱们能够把极措施执行到曲面之上图7显现了流形样条的观点咱们任选一个有些坐标系,然后在平面坐标上按照传统措施界说样条曲面假设两个开集订交,咱们在两个坐标系和上分袂界说样条曲面和,运用相同的操控网格因为坐标改换是仿射的,依据极措施的参数仿射不变性,咱Gonzo的任务们有这意味着样条曲面和有些参数的遴选无关,因而是大年夜局界说的颠末这种措施,咱们天然地把传统的样条理论执行到具有仿射布局的流形上【2】

奇特征 在工程上,大年夜家需求曲面具有接连的曲率,因而样条曲面该当起码接连从其余视点而言,在机器加工进程中,咱们该当能够操控车刀或钻头的力气,工件的加速率,因而曲面起码需求二阶接连可是,关于没有仿射布局的曲面,传统样条曲面不大概被大年夜局界说,因而弗成防止地存在奇特征在奇特征,曲面的二阶接连性难以被确保因而在实践中,大年夜家只管即便减少奇特征的个数那么,奇特征个数下界是若干呢?

图9. 逆向工程 - 将点云转化为t-spline

由样条曲线向样条曲面执行,一种法子是所谓的张量积的法子,

b-样条曲线b-样条曲线是贝赛尔曲线的直接执行,咱们直接评论其求值的de boor算法重要,咱们在参数直线上界说knots:

,

假设关闭曲面的欧拉数非0,则奇特征个数的下界是1假设曲面为拓扑球面,去掉落一点后,曲面同胚于全平面假设曲面亏格大年夜于1,依据离散曲面里奇流理论,存在一个黎曼衡量,它把统统的曲率都邑集在一点,即为奇特征非奇特征的曲率处处为0咱们将奇特征去掉落,然后布局余下有些的开掩饰笼罩,把每一个开集等距地映到平面上由此获得一个图册,其坐标改换都是平面上的等距改换,即扭转和平移,因而所得图册为仿射图册

,

贝塞尔曲线 咱们先看最大略的贝塞尔曲线天气

那么咱们用作为新的参数,做knots,原先的操控点方位不变,可是响应的knots变为,布局b-样条,则和原先b-样条曲线重合,而且能够注解为这个特点被称为是b-样条函数的参数仿射不变性换言之,极措施是依据仿射不变量(共线三点间的份额)来布局的,因而在参数仿射改换下不变

,

,

b-样条曲面

这儿基函数为伯恩斯坦多项式,构成单位分解:

对称性:令是n个数的全摆放,则

,

传统样条理论

传统样条理论实质上是依据仿射几许不变量,因而样条理论的执行依附于流形是不是准许界说仿射几许,或许等价地,流形是不是有仿射布局陈省身示性类理论证明,平日流形上不存在仿射布局,因而传统样条理论无法天然地向流形执行然后怎么减少奇特征的个数,操控奇特征的方位变成研讨要点

例如,双立方贝塞尔曲面片具有操控网格,曲面界说为

,因而即是

一路,咱们指出只管曲面上不存在仿射布局,可是存在实射影布局假设咱们能够依据射影不变量(例如交比)来布局样条,那么样条理论能够直接执行到曲面天气,奇特征的疑问将会被完全拔除

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贝塞尔曲线是b-样条曲线的特例,其操控点对应的knots为

求值进程如下:每一个节点对应着3个knots,

极措施 实质上,b-样条的de boor算法反应了b-样条的理论根基:极措施(polar form)一个多元多项式被称为是极措施,假设它知足如下两条:

重要在操控多边形的每条边上按份额插值:

图8.曲面上的t-spline

,

流形样条

一个天然的疑问是:已然dms样条www888gbgb.com能够界说在平面区域上的任意三角剖分上,那么它能否执行到曲面的三角剖分上?

评论

,

然后毗连新天生的点,构成3级操控多边形,在3级操控多边形的每条边上按份额插值:

,

拓扑阴碍十分意外的是,平日曲面并没有仿射布局这一点能够颠末陈类法子来证明假设关闭曲面s具有仿射布局,咱们在曲面就任取一开集u,在u的切丛上布局标架场, 然后咱们布局团结恒为0,则曲率措施恒为0令u'为与u订交的开集,在交集上有些坐标改换为g,则由,咱们获得恒为0,曲率措施,因而恒为0由高斯-博内定理,,因而曲面亏格必定为1,不然曲面上没有仿射布局

仿射性:,

【1】c.a. dahmen, w.a. micchelli and h.-p. seidel.blossoming begets b-spline bases built better by b-patches. mathematics of computation, 59(199):97-115,july 1992.

图3. b-样条的de boor算法

这儿改换系数在上为常数,而非逐点篡改的函数,那么这个图册被称为是一个仿射图册,最大年夜的仿射图册被称为是一个仿射布局

假定b-样条曲线为3次,那么每三个接连的knots对应着一个操控点,记为

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平日曲面上不存在仿射布局,可是存在实射影布局,这意味着射影几许能够界说在平日曲面之上假设咱们能够用射影不变量来布局样条函数,那么现在样条理论的毛病就会方便的办理怎么树立射影极措施/样条理论将是咱们尽力的偏向

,

其间的每一步都是线性插值,例如:

图4. de boor算法中的线性插值

,

张量积的措施需求操控网格和knots网格都具有张量积的布局,拓扑上的约束对照大年夜

,

然后毗连新天生的点,构成2级操控多边形,在2级操控多边形的每条边上按份额插值:

咱们查询造访一个曲面,具有图册,任取两个有些坐标系,坐标改换是,假设统统坐标改换都是仿射改换,

历史上,传统的样条布局理论是依随轿车工业的开展而出生筹划职员重要筹划操控多边形,然后颠末篡改操控点的方位来疗养样条曲线的外形样条曲线b(t)是用分片有理多项式来模仿操控多边形的外形,关于每个参数值t,b(t)能够视作是几个操控点的加权平均,权重依随参数t篡改

b-样条曲线是分片多项式,每一片有对应的极措施,极措施在三个接连的knots上的取值等于对应的操控点de boor算法等于运用极措施的对称性和仿射性来求得的进程

图6. 曲面的仿射图册

【2】xianfeng gu, ying he and hong qin. manifold splines. grpahical model, 68(3):237-254 (2006).

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图5. 用张量积来布局贝塞尔曲面片

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