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  • 发布时间:2016-01-20 19:23 | 作者:yc | 来源:互联网 | 浏览:1200 次
  • 双色球六合彩记录 | 双色球六合彩记录第一官网》》》》》》可是函数空间是不无缺的,柯西列的极限有大概不属于

    图1. 万圣节礼品:从三维人脸曲面到平面圆盘的谐和照射

    物理上,谐和映射极小化弹性形变势能,因而物理含义清晰;偏微分方程理论证明了谐和照射的存在性,仅有性,正则性,安稳性和润滑性;有限元法子确保了离散解到接连解的收敛性;数值核算法子的共轭梯度法确保了谐和照射核算的高效性;微分几许确保了谐和映射的共形不变性和微分同胚性因而,谐和照射大略直不雅,理论无缺,在工程训练中被广泛应用

    一路,谐和照射是一个极好的比方,从理论到训练,横跨物理学,偏微分方程理论,有限元理论,数值核算,微分几许等许多范畴,使咱们可以意会贯通,体会到这些范畴各有侧重,一路相得益彰的联系

    如图1所示,人脸曲面到平面区域的谐和映射,可以注解成坐标映射,这儿是相互自力的谐和函数要是坐标重量函数相互不自力,则谐和照射称为共形照射下面,咱们重要查询造访谐和函数

    物理 黎曼查询造访了这么一个物理疑问:(Dirchlet疑问)假定是平面中的有界区域,由某种电阻率处处一样的资料制成咱们在的边际处设置电压,问内部电压函数是若干?

    依据物理规律,内的电场引诱电流,电流发烧做功,那么其实大概的电压函数必定使得发烧功率最小电流强度正比于电压梯度,电阻率处处一样,因而电流发烧功率可以注解成所谓的谐和能量:

    ,

    要是函数极小化谐和能量,则咱们称其为谐和函数

    咱们进一步查询造访谐和函数该当知足的前提令探询探望函数为在鸿沟上取值为0的无量阶润滑函数假定,则对整个,的谐和能量在为0的时分取到极值,因而

    ,

    由联系式

    ,

    咱们获得

    由斯托克斯定理和,咱们有

    ,

    因为h任意,因而咱们获得谐和函数的欧拉-拉格朗日方程

    ,

    即所谓的Laplace方程这儿Laplace算子的物理含义是梯度的散度

    事实上,热力学疑问中稳衡温度场,弹性力学中橡皮膜的弹性位移,分散进程中的化学浓度都是谐和函数,都知足Laplace方程

    黎曼以为谐和函数u的存在性是不证自明的,因为在以上电场模型中,它是仅有大概的其实电压1849年,Riemann提出所谓的Dirichlet道理,即上述变分疑问总是有解的将解析函数看做特定的场漫衍,他用这一道理研讨几许函数论,“证明”了驰誉的Riemann映射定理

    偏微分方程理论

    可是几年今后,Weierstrass以反例说明一样平常环境下的变分疑问未必有解,Dirichlet道理也因而 被数学界放置了近半个世纪

    在线性空间上界说内积,

    自然地,咱们可以在取一系列谐和能量递减的函数,构成柯西列,咱们期望这一序列的极限等于谐和函数恰如有理数构成的柯西列,其极限有大概是无理数这需求咱们扩大年夜函数空间,使得极限运算关闭

    存在性 一个经典扩大年夜法子如下:要是两个柯西列的并集仍旧是柯西列,则咱们说这两个柯西列互持平价咱们查询造访空间中统统柯西列的等价类构成的空间,则这个空间必定对极限运算关闭这一进程www.韦德1946被称为是原先空间的无缺化例如,有理数的无缺化等于实数函数空间的无缺化等于索伯列夫空间(Sobolev Space) 那么,咱们赓续地减小谐和能量就会获得柯西列,柯西列的极限仍旧在空间中,咱们称之为弱解这给出了Laplace方程解的存在性

    正则性可是弱解在空间中,有大概极端不润滑咱们需求证明弱解实际上是经典解,恰如咱们证明某个有理数柯西列的极限仍旧是一个有理数,这被称为是方程解的正则性疑问正则性巧妙地依附于鸿沟的润滑性,和边值前提的润滑性正则性证明依附于Weyl引理:要是

    对任意建立,则可推出u润滑,这儿勘探函数空间

    因而,弱解等于经典解

    仅有性咱们查询造访谐和函数u的梯度场,因为为0,以是的旋度和散度一路为0. 咱们将扭转90度,所得矢量场记成,那么的旋度和散度也为0,因而可积, 存在函数,知足那么v被称为是u的共轭函数,它们一路构成解析函数:由柯西积分公式,

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    这儿因此a为圆心的小圆因而,咱们获得谐和函数的均值性子(mean avalue property),谐和函数的每一点的值都是其邻域内统统点的值的平均由此,咱们可以获得谐和函数的极大年夜值定理:谐和函数的极值点必在鸿沟上

    咱们用极大年夜值定理来证明解的仅有性假定存在两个谐和函数具有相同的边值,则也是谐和函数,而且边值为0,因而的极大年夜值和极小值都为0,必处处持平

    安稳性所谓安稳性等于解接连依附于初边值前提在柯西积分公式中,咱们取积分道路为的边际,则任意一点的函数值即是鸿沟值的加权平均,安稳性由此可以得证或许,咱们用谐和函数的极大年夜值定理来证:内点处谐和函数值之差介于边值之差的最大年夜和最小值之间

    由此,偏微分方程理论给出了Laplace方程解的存在性,仅有性和安稳性,知足这三条性子的疑问被称为是适定疑问一路,由Weyl引理,咱们获得谐和函数是无量阶润滑的

    图2. 曲面的三角剖分

    有限元法子 偏微分方程理论给出了指点,下一步咱们需求真正将谐和函数核算出来有限元法子将曲面或平面区域三角剖分,构成三角网格,然后在网格上布局分片多项式函数

    有限元法将椭圆型偏微分方程(如Lapalce方程)转换成等价的变分要领(谐和能量优化),将线性偏微分方程转化为线性方程组来求解

    有限元法需求强有力的网格天生算法,对所用网格质量有必定哀求关于平面区域,最为通用的法子当推Delaunay Refinement算法,要是不存在过于尖利的内角,则三角剖分的最小内角可以被确保要是三角剖分质量到达哀求,则离散解收敛到接连解,思虑函数值和一次导数,解的缺点界为,这儿为三角形边长

    矩阵运算 颠末有限元法,卵形偏微分算子被转化成正定对称阵,卵形偏微分方程被转化成求解大年夜型稀少线性系统,这进一步被转化为优化二次能量,

    二次能量的水平集为椭球面传统的最速低落法沿着梯度商量,因而算法的查找偏向和椭球面笔直,查找道路弯曲弯曲,费时低效

    图3. 最速低海燕策略研究论坛落法和共轭梯度法比照

    共轭梯度法每一步的低落偏向和椭球面切偏向相互共轭(仿射正交),也跟曾经统统低落偏向共轭,然后直达椭球基地,直言不讳,敏捷高效理论上,要是矩阵为n维,则共轭梯度法必在n步内到达最优

    微分几许下面,咱们再从微分几许视点来查询造访假定曲面带有黎曼衡量,咱们选用等温参数,

    ,

    则梯度算子,这儿是欧式平面上的微分算子;面积元,这儿是欧式平面上的面积元咱们来看谐和能量

    ,

    这意味着谐和能量在共形改换下不变咱们再看谐和函数,

    ,

    这意味着谐和函数在共形改换下不变这为核算带来极大年夜的便当比方咱们可以将曲面片用保角改换映到单位圆盘上,然后在单位圆盘上解Dirichlet疑问在圆盘上,关于Laplace方程的解咱们有解析解:Poisson核为

    ,

    谐和函数的公式为

    关于一样平常的椭圆型偏微分算子,

    ,这儿矩阵

    处处正定从几许上讲,咱们可以找到一个界说在上的黎曼衡量,使得椭圆型微分算子是衡量下的Laplace算子进一步,咱们可以找到衡量的等温坐标

    ,

    则微分算子变成规范的Laplace算子,

    这意味着椭圆型PDE本色上和Laplace方程是合营的,只不过改换了衡量和参数

    工程范畴 谐和照射之以是在工程范畴备受喜好,除了算法大略,核算安稳以外,重如果因为它具有微分同胚性子,即下面的Rado定理:假定谐和映射知足

    平面区域是凸的,

    映射在鸿沟上的约束是拓扑同胚,

    那么谐和映射在内部是微分同胚

    其证明大要如下:由Weyl引理,咱们获得映射的润滑性,咱们证映射为同胚假定在某一内点,映射不是同胚,则Jacobi矩阵退化,存在常数纷歧起为0,使得,因而谐和函数以p为极值点因为谐和函数的极大年夜值道理,内点p必为鞍点p点左近的水平集具有两个连通分支,和鸿沟有四个交点可是为平面凸曲线,和直线只要两个交点,对立因而映射必为微分同胚

    图3. 谐和映射是微分同胚,而且靠拢共形映射

    工程上偏幸谐和照射的其余一个缘故原由是谐和映射靠拢保角映射,因而曲面的视点畸变对照小,如图3所示一样平常含义下,共形映射是谐和映射,谐和映射不必定是共形映射

    总结评论

    共形照射是具有无穷实用代价的曲面映射法子,的确统统几许处置惩罚软件,三维游戏引擎都有完成,例如暴雪公司的游戏引擎拓扑圆盘的谐和照射是一个十分大略而精美的比方,贯通了物理,偏微分方程理论,有限元,矩阵核算,微分几许等许多范畴,使咱们可以领会不一样范畴的思惟法子,核心技巧

    双色球六合彩记录 | 双色球六合彩记录第一官网》》》》》》咱们会进一步评论紊乱拓扑曲面的谐和映射的理论和算法

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