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  • 发布时间:2016-01-21 12:53 | 作者:yc | 来源:互联网 | 浏览:1200 次
  • 人人碰超碰\人人碰超碰唯一官网以是“存在”对应召集的“并”运算,“任意”对应召集的“交”运算

    这篇略微专门化一点,需求一点微积分与召集论的根底

    有一首顺口溜是这么描画大年夜门生对大年夜学课程的感触的:

    实变函数学十遍,泛函剖析心犯寒

    随机进程随机过,量子力学量力学

    数理方程没天理,汇编言语不会编

    机器制图机器制,微机道理闹危急

    常微分学常没分,微分拓扑躲不脱

    模式辨认不辨认,神经收集发神经

    或许绝大年夜多半的大年夜门生都认为实变函数欠好学,有一年在中大年夜替人段有恙的邓东皋西席教实变函数,课程完毕后,有一位门生对我说:“曹西席,刚开始进修实变函数时,认为这门课很难学,当咱们学完这门课程今后,感觉再也没有什么课程能够难倒咱们了”原先,门生还没有学到许多后续课程,当他们学到泛函剖析、今世偏微分方程以及今世微分几许后或许又是另一番感触了但不管怎么说,实变函数是大年夜学本科数学专业中门生认为最为难的课程应该是不争的现实

    门生为何认为实变函数难学?除了这门课程处置惩罚的函数远不像微积分中的函数那么直不雅具体,更主要的身分生怕是门生没有把握实变函数的言语秘诀实变函数的一个范例特性是经常需求用召集论的言语描画函数的性子,并相识两种不相同言语之间怎么进行彼此变换要是门生学会了函数论言语与召集论言语的彼此变换,就再也不会认为实变函数深弗成测了

    毗连函数与召集之间的最基础的桥梁是召集的特性函数:假定E是一个召集,怎么选用量化的法子判别某同城乐tlc88个元素a在或不在E中?最大略的法子等于给他们付与响应的数值,具体地说等于引进这么的函数:

    也等于说当a在E中时,令函数的值为1,当a不在E中时,令函数的值为0,这个函数称为该召集的特性函数,应用这个函数能够在函数的性子与召集的性子之间进行变换例如召集序列的极限所对应的特性函数与特性函数的极限是相同的,前者是召集极限的言语,后者则是函数极限的言语学会了这种变换,许多疑问就不难理解了

    在实变函数中,有几其中间定理可谓实变函数的英华,一个是反应合营收敛与的确处处收敛联系的叶果洛夫定理,另一个是反应可测函数与继续函数联系的鲁津定理,再一个等于勒贝格操控收敛定理,要是说这三个定理是实变函数论中最主要也是最杰出的定理大年夜约不会有人对立这三个定理都与函数的迫临有关,叶果洛夫定理是说,要是界说在召集E上的一个函数序列的确处处收敛(去掉落一个零测集后处处收敛)到某个函数,怎么布局一个E的子集,使得这个子集与E的测度充实靠拢,而在这个子集上,该函数序列合营收敛,从这个定理的内容就能够看出它的主要性,因为合营收敛下的函数极限遗传了函数序列的许多性子;鲁津定理说的则是怎么用继续函数去迫临可测函数;勒贝格操控收敛定理看护咱们什么时刻函数序列的极限与积分能够交流序次统统这些定理的证明都触及一个基础疑问:函数序列的收敛环境怎么?换句话说,函数序列在哪些点是收敛的,在哪些点是不收敛的?

    要搞清楚这个疑问,重要易玩通官网人人碰超碰\人人碰超碰唯一官网需求理解在微积分中是怎么用严峻的数学言语描画一个函数序列在某个点是不收敛到某个函数的,这等于所谓的N-ε言语具体地说,函数序列fn在x点不收敛到f(x)指的是:

    存在(或许与x有关),对任意N,有n=n(x)>N(n也或许与x有关),使得

    |fn(x)-f(x)|> ε0,

    为了完结实变函数论中上述诸定理的证明,最症结的一个历程是需求将上述函数论言语变换成召集论言语,也等于说,需求用召集的法子将不收敛的点集注解出来你或许以为,这个疑问太大略了,E{x|fn(x)不收敛到f(x)}不等于召集的注解法子吗?没错,它切实着实是个规范的召集,然并卵,因为正如微积分中说fn(x)不收敛到f(x)相同,这是一种定性的描画,你无法让它参加数学演绎,你需求将上面的N-ε言语变换成召集的言语变换的症结有两点:

    1、上述的ε0能够取任意的值,可是召集的运算一样平常仅限于最多可数次,以是需求用一个可数的序列去替换现实上,要是a>ε>0,只需k充实大年夜,必有a>ε>1/k,反之,要是存在k,使得a>1/k,只需取ε=1/k就能够有a>ε了

    2、需求搞清楚剖析言语中的“存在”、“任意”与召集运算之间的联系所谓存在,只需有一个就成,所谓任意则是指对统统的都建立

    弄清楚上述两个疑问,变换就不再是难事了:

    E{x|fn(x)不收敛到f(x)}

    =

    有了上述注解式,实变函数中许多与收敛性有关的疑问便方便的办理了

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